读了名言中的数学有什么启发(从读书名言中得到的启示作文)

读了名言中的数学有什么启发(从读书名言中得到的启示作文)

1.从读书名言中得到的启示作文

一句读书名言给我的启示

我的作文成绩一向很差，三十分的作文只能拿二十分左右。每次考试，我就害怕作文把我的成绩拉下来。每次考试，我最讨厌作文，也讨厌出题的老师：为什么作文的分值那么高，害的我分数上不去。渐渐地，我想：这也不能逃避呀，干脆就面对现实吧！

在此后，我想尽办法提高我的作文水平，可作文分就是上不去，难道就这样放弃吗？我去请教妈妈，她只说了一句话：“读书破万卷，下笔如有神。”对呀！我可以通过阅读来提高我的作文水平呀！

此后，我的零花钱大都买了书，可买来的没有一本我爱看的，我又去请教妈妈，她说：“阅读，先要培养兴趣。”这样一说，我可还真明白了。我就先读杂志，例如：《儿童文学》、《课堂内外》、《故事作文》之类的书。可这些书的花费压的我喘不过起来，作文水平是提高了，可我连日常花费都没了。难道就再次放弃吗？我正要再次去请教妈妈，可一想：事不过三，我已经去了两次，这次就应该自己找了。

就这样，我熬过了一个月，终于在书上发现：书非借不能读也。我就与同学互换图书。这样，作文成绩提高了，花费也少了。这不是一举两得吗？

如今，我的作文水平大大提高。读书破万卷，下笔如有神。这句话让我受用不尽！

2.读书名言的启示作文

一句读书名言给我的启示（作文）450字，读书破万卷，下笔若有神。

——杜甫书读百遍，其义自见。书是人类退步的阶梯，一生的朋友，最诚挚的朋友。

——高尔基书犹药也，善读可以医愚。-----刘向读书好，多读书，读好书（冰心）知识就是力量（培根）“读书学习”名言警句读一书，增一智。

不消饭则饥，不读书则愚。不向前走，不知路远；不勤勉学习，不明白差错。

树不修，长不直；人不学，没知识。用宝珠打扮本人，不如用知识充分本人。

蜂采百花酿甘甜，人读群书明差错。苏息是知识的源泉；知识是生活的指南。

知识是愚笨的火把。宝剑不磨要生锈；人不学习要掉队。

壮大的禾苗需要水分；成长的少年需修业习。星星使地面辉煌夺目；知识使人增多才能。

造烛求明，读书求理。食粮补身体，册本丰富愚笨。

世界上三种东西最名贵——知识、食粮和友情。（缅甸谚语）册本备而不读如废纸。

（英国谚语）积累知识，压服积蓄金银。（欧洲谚语）谦卑是学习的朋友泰山不是垒的，知识不是吹的。

天不言自高，地不语自厚。水满则溢，月满则亏；自卑则败，自矜则愚。

包子有肉，不在皮上；人有知识，不挂嘴上。不实心不可事，不谦卑不知事。

不自是者博闻，不自卑者受害。谦卑的人，常想己之短；骄傲的人，常夸己之长。

自赞就是自轻。自卑是愚笨的尽头。

如果有了胡子就算知识广博，那么，山羊也可以讲课了。成绩是谦卑者退步的阶梯，也是骄傲者退却退却的滑梯。

吹嘘本人有知识的人，等于在宣扬本人的无知。过甚其辞，终无大用。

知识愈浅，自信愈深。讷讷寡言者定然愚，喋喋利口者定然智。

宽阔的河平静，博学的人谦卑。秀才不怕衣衫破，就怕肚子没有货。

山不厌高，水不厌深。骄傲是跌跤的前奏。

骄傲来自浅薄，清高出于无知。骄傲是败北的开头，自卑是愚笨的尽头。

说大话的人像爆仗，响一声就完了。鉴难懂，始能照物；衡唯平，始能权物。

谦卑是学习的朋友，自卑是学习的仇敌。赶脚的对头是脚懒，学习的对头是自卑。

谦卑使人退步，骄傲使人掉队。谦卑的人学十算一，骄傲的人学一当十。

强中更有强中手，莫向人前自诩口。满足现在的成绩，就窒息了未来。

喜欢吹嘘的人如统一壁大鼓，响声大腹中空。人唯虚，始能知人。

满招损，谦受害。满必溢，骄必败。

知识储藏在谦卑的大海中。（朝鲜谚语）知识多深也别满足，过失多小也别忽略。

（蒙古谚语）懂得本人无知，申明已有收获。（拉丁美洲谚语）知识知识，不懂就问刀钝石上磨，人笨人前学。

以回报师能退步。尝尝并非享福，问问并不亏损。

长于发问的人，知识丰富。不听指导，多绕弯弯。

不懂装懂，永远饭桶。智者千虑，必有一失；愚者千虑，必有一得。

不克不及则学，不知则问，耻于问人，决无前程。知识广博的人，懂了还要问；知识浅薄的人，不懂也不问。

井淘三遍吃好水，人从三师本事高。手指有长有短，知识有高有低。

学无前后，达者为师。边学边问，才有知识。

若要精，人前听。只要是有利的话，小孩的话也要听。

要学蜜蜂采百花，问遍百家成里手。老姜辣味大，老人阅历多。

请教别人不赚钱，舌头打个滚。怕问路，要迷路。

嘴勤不走委屈路。册本备而不读如废纸。

（英国谚语）不问的人永远和伶俐在一起。（东非谚语）耳朵没有底，可以从早听到晚。

（非洲谚语）世上无难事，只要肯登攀一分耕耘，一分收获。一艺之成，当尽终生之力。

一个不想蹚过小河的人，做作不想远涉重洋。针越用越明，脑越用越灵。

学在苦中求，艺在勤中练。不怕知识浅，就怕志气短。

才华是血汗的结晶。才华是刀刃，辛苦是磨刀石。

上如阶虽然费力，却一步比一步高。不颠末琢磨，宝石也不会发光。

心专才能绣得花，心静才能织得麻。书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

日日行，不怕千万里；时时学，不怕千万卷。多练多乖，不练就呆。

只有勤勉攀爬山顶顶峰的人，才能把山顶顶峰踩在脚下。困难是人的教科书。

汗水和歉收是忠诚的搭档，好学和知识是一对最美丽的情侣。学习如钻探石油，钻得愈深，愈能找到知识的精粹。

先学爬，然后学走。心坚石也穿。

好记性不如烂笔头。勤勉是成功之母。

好高骛远的硕果累累，埋头苦干的获得悉识。百艺通，不如一艺精。

同时赶两只兔，一只也捉不到。一回生，二回熟，三回已往当师傅。

学如逆水行舟，逆水行舟。学习如赶路，不克不及慢一步。

知识之根苦，知识之果甜。知识勤中得，富裕俭中来。

留意力是愚笨的流派。要得惊人艺，须下苦工夫。

只要工夫深，铁杵磨成绣花针。拳不离手，曲不离口。

常说口里顺，常做手不笨。最淡的墨水，也压服最强的记性。

搓绳不克不及松劲，退步不克不及停顿。对准还不是命中，起跑还不算达到。

没有艰苦的学习，就没有最复杂的发明。（南斯拉夫谚语）谁游乐无度，谁没空学习。

（法国谚语）谁要懂得多，就要睡得少。（亚美尼亚谚语）知识好象砂石下面的泉水，越掘得深泉水越清。

（丹麦谚语）知识需要反复探寻，地皮需要辛勤耕耘。（尼泊尔谚语）学如驾车登山，不进就退。

（日本谚语）书读百遍，其义自见读了懂不了，用处也不大。一窍通，百窍通内心没有眼，有眼也无用。

细心理索一天。

3.对名言的启示,至少400字,数好再回答

失败是成功之母 当我考试没考好时，是它安慰了我；当我做一件事失败时，是它鼓励了我；当我学习上有困难，要放弃时，是它帮助了我……啊，它就是我最喜欢的一句名言——失败是成功之母。

记得上个星期，我数学只考了89分，离第一名差了整整十分！那时，我的背上仿佛多了个沉重的包袱，里面装满了同学们的冷嘲热讽，父母的责骂。回到家，我像失了魂一样扑倒在床上。

此时，我伤心欲绝，在心中不停的责备着自己：我怎么这么差劲，自以为数学不在话下，可这次却考这么差，我怎么好意思再给同学在黑板上出题！我越想越伤心，眼泪像断了线的珍珠，“吧嗒吧嗒”往下流，衣服都被弄湿了，哭泣的声音可以说是震天动地。正当我泣不成声时，“失败是成功之母”这句名言从我的脑海里浮现出来。

是啊，不经历风雨，怎能见彩虹？著名的发明家爱迪生发明灯泡时，就经历了1600多次的失败，最终才发明出灯泡的。我和它相比，简直是微不足道，难道，这一次失败就能够将我打倒？不，从哪里摔倒，我就要从哪里爬起来！我还要吸取这次经验教训，重新振作起来。

在今后的日子里，我上课一定要专心听讲，认认真真地完成作业，有问题就要打破沙锅问到底，做事不能马马虎虎，不能自高自大……现在，我终于明白了失败并不可怕，可怕的是失败后就一蹶不振。能明白这点，多亏了我的朋友——失败是成功之母。

4.一则名言的启示

一则名言的启示

俗话说：“虚心万事能成，自满十事九空”。是的，这句话一点不错，通过五年级那件事后，我的感触更深了，这是为什么呢？

那是五年级期末考试的事了。那次考试由于我的全面发挥，考了个不错的分数，幸而登上了年级第二的宝座。我很兴奋，爸爸妈妈也很高兴。但那作为“职业教师”的妈妈，还是对我说了一大堆让我不能骄傲啊，要谦虚呀之类的话。可我早已被胜利冲昏了头脑，妈妈的话我事左耳进，右耳出。完全不予理睬。上学放学走在路上，总听见许多同学在窃窃私语：”呀，他就是年级第二啊！”“就是，听说第一名只比他多0。5分呢！”我听了这些话后便开始自大起来。上课吃零食，开小差，不是和同学说话，就是到处传纸条。更有胜者，有时我还用语文、数学书挡在外面，在下面看漫画书。同桌老是提醒我，我也是置之不理。一次，同桌见我老毛病又犯了，便开始劝我：你，你在看，我就告老师。”“去吧，去吧，反正我是年级第二，谁怕谁啊！”我狂妄的说道，因为我知道他胆小，不敢告老师，果然，他没有告老师。

时间飞逝，转瞬之间半学期就这样稀里糊涂的过去了，同桌也不在理我。又到期中考试了。因为前几次小测试我都拿了高分，这让原本自大的我更加狂妄了，考试完全不放在心上，自认为一定事高分，结果一下来没我数学只考了81分，连全班30名都排不上号，一项是“语文强人”的我只考了90分，排在20多名。老师叫我去办公室谈话。一进办公室，老师便开口了：“张琛，你怎么了，你以前不是这样的呀，是不时有什么事啊，搞诉老师好吗？听了老师的话，我心中一阵惭愧：老师还是信任我的啊。于是，我把半学期的学习情况一五一十的说了出来。老师听了，意味深长的说：“老师送你一句名言，希望你记住它，不要违背它。这句话你应该听说过，就是：‘虚心万事能成，自满十事九空。’你知道它的意思吗？”我点点头，开口说：“只要虚心，什么事都能成功；如果骄傲，什么事也不会成功。”老师满意的点点头。

“虚心万事能成，自满十事九空”这句话讲伴随我一生，使我从中受益匪浅。

一则名言的启示

“失败是成功之母”这句名言使我受到了很大的启示，并一直激励着我，因此它又成了我的座右铭。

记得那时我才读三年级，由于数学成绩蛮好，就被老师选去参加数学竞赛，那时我可是又惊又喜。比赛那天，参赛的人很多，我还没见过这种场面呢！这场激烈的“战斗”过后，我竟排不上名次，那时我是又气又伤心。回到家，我很失望地把比赛结果告诉父母，父母便对我说：“孩子，不要气馁，失败是成功之母嘛，你应该找出失败的原因。”听了父母的一席意味深长的话，我深受启发，静下心来，回忆参加比赛的经过，原来在比赛的时候，我十分紧张，生怕时间不够用，这种紧张的心情，使我的脑子变得迟钝，一时反应不过来。我找到了失败的原因。在以后的各种竞赛中，不论是参加棋类比赛，还是学科竞赛，我都时时刻刻提醒自己：“不要紧张，要沉着。”

在“失败是成功之母”这句名言的鞭策下，我的学习更加刻苦，更加努力，因此在四年级时的数学竞赛中，我沉着应战，取得了个第二名，我高兴极了，成功的喜悦使我兴奋，给我鼓舞。是啊，“失败是成功之母”这句名言说得很不错，可是失败后并不是就能真的获得成功，而是失败后你要去认真反思，找出你失败的原因，再去改正它。这样这次的“失败”才会是下一次的“成功之母”。

虽然在我成长的道路上有过许许多多的失败，在以后的人生道路上也还会有失败，但是我的座右铭：“失败是成功之母”将永远给我启示，激励我继续往成功的高峰攀登

5.【有关于数学的名言与数学有关的名言】

数学是无穷的科学.——赫尔曼外尔 数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深.数学是科学之王.——高斯 在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.——康扥尔 只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡.——希尔伯特 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么.——毕达哥拉斯 一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步.——马克思 一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量.——拉奥 柯西（Augustin Louis Cauchy 1789-1857）如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误.给我五个系数，我将画出一头大象；给我第六个系数，大象将会摇动尾巴.人必须确信，如果他是在给科学添加许多新的术语而让读者接著研究那摆在他们面前的奇妙难尽的东西，已经使科学获得了巨大的进展.陈省身数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论.科学需要实验.但实验不能绝对精确.如有数学理论，则全靠推论，就完全正确了.这科学不能离开数学的原因.许多科学的基本观念，往往需要数学观念来表示.所以数学家有饭吃了，但不能得诺贝尔奖，是自然的.数学中没有诺贝尔奖，这也许是件好事.诺贝尔奖太引人注目，会使数学家无法专注於自己的研究.我们欣赏数学，我们需要数学.一个数学家的目的，是要了解数学.历史上数学的进展不外两途：增加对於已知材料的了解，和推广范围.笛卡儿（Rene Descartes 1596-1650）我思故我在.我决心放弃那个仅仅是抽象的几何.这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题.我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在於解释自然现象的几何.数学是人类知识活动留下来最具威力的知识工具，是一些现象的根源.数学是不变的，是客观存在的，上帝必以数学法则建造宇宙.欧拉（Leonhard Euler 1707-1783）虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现陕.因为宇宙的结构是最完善的而且是最明智的上帝的创造，因此，如果在宇宙里没有某种极大的或极小的法则，那就根本不会发生任何事情祖冲之（429-500）迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推.刘徽事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已.又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣.拉普拉斯（Pierre Simon Laplace 1749-1827）这就是结构好的语言的好处，它简化的记法常常是深奥理论的源泉.在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比.读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师.一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现她的国力强大.认识一位巨人的研究方法，对於科学的进步并不比发现本身更少用处.科学研究的方法经常是极富兴趣的部分.莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz 1646-1716）虚数是奇妙的人类棈神寄托，它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物.不发生作用的东西是不会存在的.考虑了很少的那几样东西之后，整个的事情就归结为纯几何，这是物理和力学的一个目标西尔维斯特（James Joseph Sylvester 1814-1897）几何看来有时候要领先於分析，但事实上，几何的先行於分析，只不过像一个仆人走在主人的前面一样，是为主人开路的.也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号，因为我相信数学理性创造物由我命名（已经流行通用）比起同时代其他数学家加在一起还要多.魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass 1815-1897）一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家.。

6.一句名言的启示 范文

句名言的启示

杏花第一小学 六年（1）班 黄梓倍

“失败是成功之母”这句名言使我受到了很大的启示，并一直激励着我，因此它又成了我的座右铭。

记得那时我才读三年级，由于数学成绩蛮好，就被老师选去参加数学竞赛，那时我可是又惊又喜。比赛那天，参赛的人很多，我还没见过这种场面呢！这场激烈的“战斗”过后，我竟排不上名次，那时我是又气又伤心。回到家，我很失望地把比赛结果告诉父母，父母便对我说：“孩子，不要气馁，失败是成功之母嘛，你应该找出失败的原因。”听了父母的一席意味深长的话，我深受启发，静下心来，回忆参加比赛的经过，原来在比赛的时候，我十分紧张，生怕时间不够用，这种紧张的心情，使我的脑子变得迟钝，一时反应不过来。我找到了失败的原因。在以后的各种竞赛中，不论是参加棋类比赛，还是学科竞赛，我都时时刻刻提醒自己：“不要紧张，要沉着。”

在“失败是成功之母”这句名言的鞭策下，我的学习更加刻苦，更加努力，因此在四年级时的数学竞赛中，我沉着应战，取得了个第二名，我高兴极了，成功的喜悦使我兴奋，给我鼓舞。是啊，“失败是成功之母”这句名言说得很不错，可是失败后并不是就能真的获得成功，而是失败后你要去认真反思，找出你失败的原因，再去改正它。这样这次的“失败”才会是下一次的“成功之母”。

虽然在我成长的道路上有过许许多多的失败，在以后的人生道路上也还会有失败，但是我的座右铭：“失败是成功之母”将永远给我启示，激励我继续往成功的高峰攀登。

7.关于数学名言的有哪些

数学确属美妙的杰作，宛如画家或诗人的创作一样——是思想的综合；如同颜色或词汇的综合一样，应当具有内在的和谐一致。

对于数学概念来说，美是她的第一个试金石；世界上不存在畸形丑陋的数学。——G.H.Hardy 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。

——F.Klein 哪里有数，哪里就有美。——Proclus 当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。

——柯普宁（前苏联哲学家） 这就是结构好的语言的好处，它简化的记法常常是深奥理论的源泉。——拉普拉斯（-1827） 社会的进步就是人类对美的追求的结晶。

——马克思（K.Max） 数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。 ——罗素（B.Russell） 数学能促进人们对美的特性——数值、比例、秩序等的认识。

——亚里士多德（Aristotle） 美包含在体积和秩序中。 ——黑格尔（G..W.F.Hegel） 一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家。

——魏尔斯特拉斯（KarlWeierstrass1815-1897） 纯粹数学，就其本质而言，是逻辑思想的诗篇。 ——爱因斯坦 数学如同音乐或诗一样显然地确实具有美学价值。

——雅可比 数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性的艺术，因为数学家的生活、言行如同艺术家一样；数学是创造性的艺术，因为数学家就是这样认为的。 ——哈尔莫斯 音乐与代数很类似。

——哈登伯格 硬说数学科学无美可言的人是错误的。美的主要形式是秩序、匀称与明确。

——亚里斯多德 感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到几何的优雅，这是所有真正的数学家都清楚的真实的美的感觉。 ——庞加莱 数学之美是很自然明白地摆着的。

——哈尔莫斯 我认为，说数学家选择课题的准则以及判断他是否成功的准则，主要的是美学准则，这是正确的。——冯.诺伊 曼 我的工作总是力图把真与美结合起来，但是，当我不得不选择其中的一种时，我通常选择美。

——韦尔 在数学定理的评价中，审美标准既重于逻辑的标准，也重于实用的标准：在对数学思想的评价时，美与优雅比是否严密、正确，比是否有用都重要得多。 ——斯蒂恩 纯粹数学可以是实际有用的，而应用数学也可以是优美高雅的。

——哈尔莫斯 对早已正确认定的定理做进一步的研究，探索它的新证法，只不过是因为现有的证明欠缺美的魅力。——克莱因 数学家如画家或诗人一样，是款式的制造者。

数学家的款式，如同画家或诗人的款式，必须是美的……世上没有丑陋数学的永久立身之地。

——哈代 求楼主采纳。

《爱与数学》的启示：仁慈并非面目可亲，只在渡人过坎

仁　慈

推荐一本关于数学的书很难。是的，对好不容易摆脱数学的绝大多数人来说，为什么要回过来读关于数学的书？

因为仁慈。

这个答案，听上去就像爱德华·弗伦克尔取的《爱与数学》这个书名一样不着边际。但爱与数学，从本质上来说，是相通的，那就是仁慈。

眼下的一场新冠肺炎疫情，让几乎所有人认识到，最可怕的是未知，并且这种未知时时笼罩在人们的头顶。

由此更让人深信，打破未知，就是最大的仁慈。数学恰恰就为人类铺筑了通往未知世界的幽辟小径——很少有人一直走下去，但正是这极少的人一步步把人类的认知触角向前延伸。弗伦克尔教授在书中使尽浑身解数深入浅出介绍朗兰兹纲领等现代数学前沿理论，就是为了让更多人对此有所领悟。

生于苏联的弗伦克尔教授是一位数学天才。大学本科还未毕业时，就利用对称群等现代数学理论在二维量子模型研究上取得突破性进展，被哈佛大学校长亲自邀请担任客座教授。当时，他在苏联还未拿到本科学位。

《爱与数学》展示了弗伦克尔娴熟的叙事技巧，他首先从普通人最熟悉的对称现象说起，讲述了发现夸克的一段“奇幻”经历。

爱德华·弗伦克尔（Edward Frenkel）

夸克是构成质子、中子和电子的基本粒子。这是物理学家默里·盖尔曼从意识流小说大师詹姆斯·乔伊斯的小说《芬尼根的守灵夜》中借用的一个词汇。20世纪五六十年代，人们普遍认为质子、中子及其他强子是不可再分的基本粒子，但盖尔曼等物理学家利用对称中的特殊酉群理论提出，强子是分别由包含三种夸克和三种反夸克组成基本粒子族构成的。尽管在当时，这只是在数学理论框架下完成的纯理论性预测，但很快科学家们就在实验中发现被命名为“夸克”的基本粒子真的存在，而且夸克真的带有一部分电量。

“数学这个强大的工具，帮助我们窥探到深藏于宇宙内部的奥秘，我们又怎么能不为之惊叹不已呢？”作者写道，“科学家确实需要日内瓦大型强子对撞机这样造价昂贵、结构复杂的机器，但是像爱因斯坦、盖尔曼这样的科学家，仅仅利用最为抽象而且几乎是纯理论性的数学知识，就揭开了我们这个世界埋藏得最深的秘密。这的确令人叹为观止。”

书中讲述了一则与爱因斯坦有关的趣事：美国威尔逊山天文台需要一架望远镜，借此来勾勒人们所处的时空。爱因斯坦的妻子艾尔莎听说这件事之后，说：“哦，我丈夫在旧信封的背面就可以完成这项工作。”

“我们所有人，无论信仰什么，都可以拥有这种知识。”作者写道，数学把我们凝聚在一起，为我们孜孜不倦地探索宇宙的热情赋予了新的含义。

这种含义就是无穷的可能，就是不断在未知中开垦出新的已知疆域。数学对大多人来说并非面目可亲，但她的仁慈就在于渡人过坎，让人们面对未知时并不那么束手无策。

时　空

用弗伦克尔的话来说，帮助他“登顶数学险峰”的是其在大学本科阶段就对n维空间的对称群理论进行了深入研究。

科幻小说《三体》的流行，让不少人对“降维打击”一词耳熟能详。但毋庸讳言，对大多数人来说，三维空间都是认知思维的极限。“想象四维空间，对于我们来说是一项艰巨的任务：我们无法把时间（第四维度）理解成与空间维度相同的另一个维度。”弗伦克尔在书中坦言。

《爱与数学》对高维空间的相关阐述引人入胜。书中介绍，在想象四维物体时，可以采用一种更有效的方法，即把四维物体想象成三维“切片”的组合。如果第四维度代表时间，那么四维“切片”就是一组组的照片。如果给正在运动中的人拍照，得到的就是四维物体的一个三维切片。连续拍摄几张照片，就会得到一组这样的三维切片。

20世纪初，艺术家们对这个想法兴趣甚浓。他们利用照片并置，在画作中加入了第四维度，使画面产生了动感，这方面的里程碑式作品是马塞尔·杜尚于1912年创作的《下楼梯的裸体女人，第2号》。

马塞尔·杜尚 《下楼梯的裸体女人 》

值得一提的是，这似乎是一个四维空间认知集体觉醒的时期。爱因斯坦在这一时期提出了相对论，证明空间和时间不可分割。亨利·庞加莱等数学家则正在深入钻研高维几何的奥秘，并逐步超越了欧几里得的几何学范畴。

“由此可见，是数学帮助艺术找到创新的突破口。艺术家借助数学知识，看到隐蔽性极高的新维度，他们深受启发，以摄人心魄的美学形式，表现出真实世界中蕴含的深邃真理。”作者不由感叹道，“数学是一门通用语言，适用于所有维度的空间。”

达尔文曾说过，数学赋予了我们“新的感官”。人类正是利用这种感官突破了对时空的认知极限。多少个世纪以来，物理学家一直以为我们生存的空间是一个平坦的三维空间。但是，这种理解是不正确的，是由我们对现实的狭隘认知造成的。而创立了黎氏几何的德国数学家黎曼则指出，弯曲空间是一种客观存在。

基于黎曼的认知突破，爱因斯坦提出了广义相对论，揭示了时空弯曲的根本原因在于万有引力。因此，我们生存的空间实际上是一个弯曲的三维流形。

在第17章“数学之美”中作者又进一步引入了弦论，这是高维数学理论对时空认知边界的最新扩展。

书中介绍，我们身处的这个世界也有可能是我们观察到的四维空间与一个极小的六维流形的乘积，只不过这个六维流形非常小，我们无法利用现有工具观测到它。在这个十维理论框架下有可能产生有效的四维理论来描述我们的宇宙，并且有可能成为囊括自然界所有已知作用力的统一理论。但问题在于，这个六维流形有着10^500种可能，我们这个宇宙究竟应该选择哪一种六维流形呢？又如何通过实验来验证呢？

人们期盼有一种一劳永逸的终极理论，但彼岸总是难以企及。尽管如此，向着彼岸进发的每一步都是对于未知世界激动人心的驯服。

2019年，自然科学领域最令人瞩目的成就当然是黑洞照片的发布。这个黑洞距离地球5500万光年。正是时空的弯曲，成就了人类这次里程碑式发现。

宇宙浩瀚无垠，不仅谓之广大，更缘于迄今未掌握穷尽其奥秘的认知工具。数学或许是人类手中唯一的一把钥匙，这不更是她的仁慈所在吗？

均　等

数学的仁慈更在于她给予人们的机会是均等的。

这是《爱与数学》致力揭示的要义。书的序言即引述伽利略“自然界的法则是用数学语言写就的”这一名言，指出数学是一种描述现实、揭示世界运行规律的语言，这种普适性语言已经成为检验真理的黄金标准。

作者写道，数学知识与其他学科知识都有所不同，它极为特殊。同一个数学公式或者定理的含义不会有任何不同，即便经历上千年也不会发生变化。同时，数学公式和定理是我们所有人的共同财产，任何人都不可以对它们申请专利。它并非那些“受过良好教育的少数人”的专利，而是人类的共同财产。

希腊哲学家柏拉图首先提出，数学中的一项项内容与我们的理性活动没有任何联系。因此，数学概念与数学思想栖身的这个世界，被称为“柏拉图数学世界”，这是一个平行于人类认知的客观世界。

“值得庆幸的是，我们深入了解柏拉图数学世界，并在生活中加以应用的进程是不可阻挡的，其中一个非常重要的原因就是数学的内在民主性。”弗伦克尔的关于数学内在民主性的论述令人难忘：对于物理世界和精神世界而言，不同的人在认知或解读其中的某些内容时可能会得出不同的结论，有的人甚至根本无法理解。但是，所有人对数学概念与方程式的认知都会得出相同的结论，而且数学给予人们的机会是均等的。没有人可以垄断数学知识，人们既不能宣布某个数学公式或数学思想是自己发明的，也不能为某个公式申请专利。原因在于，如果这个公式是正确的，那么它所表示的是宇宙的某个永恒真理，因此不可能私有化，只能由大家共享。

“无论贫富、肤色与年龄，谁也不能把它从我们手中夺走。”作者由衷赞叹，“在这个世界上再也没有其他任何事物能像数学那样深奥、典雅而又不属于某个人的了。”

过　坎

1984年，正在上高三的弗伦克尔决定报考莫斯科国立大学，因为这是莫斯科唯一一所设有纯理论数学专业的大学，实力在苏联首屈一指。

但因为是犹太人，他在考试中受尽各种刁难，未能如愿。“如果把这次考试比作拳击比赛，我就是在拳击台上被逼到角落的那位拳击手，血流满面，在对手暴风骤雨般的进攻下拼命挣扎，苟延残喘。”很多年后，这次考试仍让他心有余悸。

在最灰暗的日子里，是对数学的爱以及莫斯科大学具有良知的学者们帮他爬坡过坎，直到收到哈佛大学校长的亲笔信。

在他到美国的第二年，莫斯科大学校长洛古诺夫应邀到麻省理工大学发表演讲，这让弗伦克尔有了与他当面对质的机会。“我能够与‘罪魁祸首’当堂对质，并迫使他承认对我的所作所为确实不公平，这个结果在一定程度上是令人满意的。”他在书中写道。

在书的结语中，弗伦克尔回忆自己第一次到达波士顿洛根机场的情形。“有一部著名的电影叫作《来自俄罗斯的爱情》，不过，我拥有的不是爱情，而是对数学抱有的一片痴情。”他以感性的笔触写道，我们对数学这个神秘的被遗忘的大陆了解得越深入，就越能深刻体会到我们对它知之甚少，还有更加广阔的空间等待我们去探索。

为了数学的仁慈，诚如作者所言，前方征程还很漫长，仍需要坚持不懈的努力和持久的热爱。

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